ぶらっどそうるくんのアイデア箱

実変数の三角関数には以下の3つの定義があります。

(他にもあるらしいですが、よく知りません。)

・三角比による定義 (直角三角形を書いて定義するやつです。)

・単位円による定義 (今回使うやつです。個人的に一番すき。)

・級数による定義 (Taylor展開したやつです。複素関数論などで有用です。)

この記事では単位円による定義を用いて、正弦・正接・正割と余弦・余接・余割の名前の由来と関係性について紹介したいと思います。

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図1の赤色の部分がsin $\theta$ を表し、この部分は単位円の弦の一部をなしているので $\theta$ の正弦と呼びます。

また、青色の部分がtan $\theta$ を表し、この部分は単位円の接線の一部をなしているので $\theta$ の正接と呼びます。

さらに、緑色の部分はsec $\theta$ を表し、この部分は単位円を2分割する直線の一部をなしているので $\theta$ の正割と呼びます。

ここに、 $\frac{\pi}{2}-\theta$ を $\theta$ の余角と呼びます。

それゆえ、余角の正弦・正接・正割は以下の名称で呼ばれます。

(よくみると、英語名の方はそれぞれの名称に接頭辞co-が付いてたりします。)

$\theta$ の余弦 : sin( $\frac{\pi}{2}-\theta$ ) = cos $\theta$

$\theta$ の余接 : tan( $\frac{\pi}{2}-\theta$ ) = cot $\theta$

$\theta$ の余割 : sec( $\frac{\pi}{2}-\theta$ ) = cosec $\theta$

これらの余弦・余接・余割を単位円に書き込むと以下のようになります。

(当然ではありますが、図1との対称性が見られます。)

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